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證明圓面積公式有哪些方法

2020-05-05 16:06:16來源:火星一號

對于任意一個圓,其面積S都是等于圓周率π與半徑平方r^2的乘積。或者說,任意一個圓的面積與其半徑平方之比都是相同的常數——圓周率。那么,這個結論是經過數學上的嚴格證明,還是一種數學直覺呢?事實上,圓面積公式(S=πr^2)在數學上能夠嚴格證明,無論是我國古代的數學家,還是古希臘的數學家,都證明了這個公式。圓面積公式的證明方法有很多種,下面簡單舉幾個例子。

(1)極限法一

如果把一個圓分成n個等份,然后將其拼接成如下的四邊形:

圓的面積公式是怎么得到的?

當n趨于無窮大之時,也就是圓分成了無窮多個等份,那么,該四邊形就會變成長方形。顯然,這個長方形的長為半圓周長(πr),寬為圓的半徑(r),該長方形的面積等于圓的面積,所以可得圓面積公式為:S=πr?r=πr^2。不過,為了完成這樣的證明,首先還需證明圓周長公式(C=2πr)。通過相似三角形原理,用幾何法很容易可以證明圓的周長與直徑之比為相等的常數,該常數即為圓周率。

(2)極限法二

把圓分成n等份,連接每個扇形中半徑與圓的交點。并假設每個扇形的圓心角為2θ,則2θ=2π/n。

圓的面積公式是怎么得到的?

考察其中一個三角形OAB,根據三角函數可得,OC=rcosθ,AB=2rsinθ,三角形OAB的面積為:

S△OAB=1/2·AB·OC=r^2sinθcosθ

當n趨于無窮大時,圓的面積可以表示為:

S=lim(n→+∞)n·S△OAB

根據極限原理,可以算出S=πr^2。

(3)積分法

嚴格意義上來說,這也是一種極限法,但這里是通過圓的方程(x^2+y^2=r^2)來嚴格計算圓面積:

圓的面積公式是怎么得到的?

圓的面積公式是怎么得到的?

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